概率入门 -- 样本空间、事件与条件概率
概率论是 AI 处理不确定性的核心工具。从分类器输出到生成模型采样，概率无处不在。
概念解析
样本空间
所有可能结果的集合
掷骰子: {1,2,3,4,5,6}
事件
样本空间的子集
「偶数」= {2,4,6}
概率 P(A)
A 发生的可能性，[0,1]
0=不可能, 1=必然
条件概率：已知部分信息后更新判断
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]直觉：把样本空间缩小到 B 发生的范围，看 A 在其中占多大比例。
全概率公式：分情况汇总
\[ P(A) = \sum_i P(A|B_i) P(B_i) \]生活例子
大数定律
掷 10 次硬币，可能是 4 正 6 反。掷 10000 次，正面比例一定非常接近 0.5。
次数越多，频率越稳——这是概率论的根基。
Python 动手实践
实例
import numpy as np
# 大数定律验证
for n in [10, 100, 1000, 10000]:
tosses = np.random.choice(['H','T'], size=n)
freq = np.mean(tosses == 'H')
print(f"RUNOOB 掷{n:5d}次, 正面频率={freq:.4f}")
# 蒙提霍尔问题：换门胜率 2/3
def monty_hall(switch=True, trials=10000):
wins = 0
for _ in range(trials):
car = np.random.randint(0, 3)
choice = np.random.randint(0, 3)
revealed = np.random.choice([d for d in range(3) if d != car and d != choice])
if switch:
choice = [d for d in range(3) if d != choice and d != revealed][0]
wins += (choice == car)
return wins/trials
print(f"\n蒙提霍尔: 不换={monty_hall(False):.3f}, 换={monty_hall(True):.3f} (理论: 1/3, 2/3)")
# 大数定律验证
for n in [10, 100, 1000, 10000]:
tosses = np.random.choice(['H','T'], size=n)
freq = np.mean(tosses == 'H')
print(f"RUNOOB 掷{n:5d}次, 正面频率={freq:.4f}")
# 蒙提霍尔问题：换门胜率 2/3
def monty_hall(switch=True, trials=10000):
wins = 0
for _ in range(trials):
car = np.random.randint(0, 3)
choice = np.random.randint(0, 3)
revealed = np.random.choice([d for d in range(3) if d != car and d != choice])
if switch:
choice = [d for d in range(3) if d != choice and d != revealed][0]
wins += (choice == car)
return wins/trials
print(f"\n蒙提霍尔: 不换={monty_hall(False):.3f}, 换={monty_hall(True):.3f} (理论: 1/3, 2/3)")
输出：
RUNOOB 掷 10次, 正面频率=0.8000 RUNOOB 掷 100次, 正面频率=0.5500 RUNOOB 掷 1000次, 正面频率=0.4870 RUNOOB 掷10000次, 正面频率=0.4987 蒙提霍尔: 不换=0.329, 换=0.663 (理论: 1/3, 2/3)
AI 中的应用场景
分类器的输出 = 概率分布
Softmax 输出每个类别的概率，所有类别概率之和为 1。模型不只告诉你「这是猫」，还告诉你「80% 概率是猫，15% 是狗，5% 是其他」。这种概率输出对风险评估、置信度校准至关重要。
生成模型 = 从概率分布中采样
VAE 从学到的潜在分布中采样生成新图片，GAN 从随机噪声分布采样生成逼真图像，扩散模型从纯噪声开始逐步去噪生成高清图片。这些生成过程的核心操作都是「从某个概率分布中采样」。
强化学习中的随机策略
策略梯度方法中，智能体的动作不是确定的，而是从策略网络输出的概率分布中采样（如 70% 向左、30% 向右）。这种随机性保证了探索——如果总是选最高概率的动作，可能永远发现不了更好的策略。